Hace 21 años, los matemáticos publicaron una lista con los siete principales problemas sin resolver del campo. Solucionarlos ofrecería nuevas e importantes perspectivas en matemática fundamental e incluso podría tener consecuencias en el mundo real para técnicas como la criptografía.

Pero los grandes interrogantes matemáticos casi nunca han atraído el mismo interés externo que los misterios de otras áreas científicas. Muchas personas siguen sin entender cómo es o qué sentido tiene la investigación matemática, lamenta Wei Ho, matemática de la Universidad de Míchigan. Aunque la gente a menudo malinterpreta la naturaleza de su trabajo, Ho sostiene que no tiene por qué ser difícil de explicar. «En los cócteles siempre hablo sobre las curvas elípticas», añade. Ho suele preguntar a los invitados: «¿Os acordáis de las parábolas y los círculos del instituto? Cuando uno comienza a considerar ecuaciones cúbicas, las cosas se ponen realmente difíciles… Hay muchísimas preguntas abiertas sobre ellas».

Un famoso problema abierto, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, se refiere a la naturaleza de las soluciones a las ecuaciones de las curvas elípticas, y es uno de los siete Problemas del Milenio, que fueron elegidos por el comité científico del Instituto Clay de Matemáticas como «algunos de los problemas más difíciles con los que lidiaban los matemáticos a principios del segundo milenio», según describe el propio instituto. En un acto especial celebrado en París el 24 de mayo de 2000, el instituto anunció un premio de un millón de dólares por cada solución o contraejemplo que resolviera en la práctica y por primera vez uno de estos problemas. Las reglas, revisadas en 2018, estipulan que el resultado debe lograr «una aceptación generalizada por parte de la comunidad matemática internacional».

El anuncio del año 2000 dio a los matemáticos 7 millones de razones para trabajar en esos siete problemas: la hipótesis de Riemann, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, el Problema de P versus NP, el problema de la existencia de Yang-Mills y del salto de masa, la conjetura de Poincaré, el problema de las ecuaciones de Navier-Stokes y la conjetura de Hodge. Sin embargo, a pesar de la fanfarria y el incentivo monetario, después de 21 años solo se ha resuelto la conjetura de Poincaré.

Una solución inesperada

En 2002 y 2003, Grigori Perelman, matemático ruso que a la sazón trabajaba en el Departamento de San Petersburgo del Instituto Matemático Steklov de la Academia de Ciencias de Rusia, compartió en línea su trabajo relacionado con la solución de la conjetura de Poincaré. En 2010, el Instituto Clay anunció que Perelman había demostrado la conjetura y, de paso, había resuelto otro problema relacionado, la conjetura de geometrización del difunto matemático William Thurston. (Es bien sabido que Perelman, que rara vez se relaciona con el público, rechazó el dinero del premio.)

De acuerdo con el Instituto Clay, la conjetura de Poincaré versa sobre una cuestión topológica: si las esferas con superficies tridimensionales están «esencialmente caracterizadas» por una propiedad denominada «conectividad simple». Esa propiedad significa que si se envuelve la superficie de la esfera con una banda elástica, se puede comprimir esa banda (sin rasgarla ni retirarla de la superficie) hasta convertirla en un punto. Una esfera bidimensional o el agujero de una rosquilla son simplemente conexos, pero la propia rosquilla (o cualquier otra forma con un agujero) no lo son.

Martin Bridson, matemático de la Universidad de Oxford y presidente del Instituto Clay, describe la prueba de Perelman como «uno de los grandes acontecimientos, sin duda, de los últimos 20 años» y «el colofón de muchas líneas de pensamiento y de nuestra comprensión sobre cómo son los espacios tridimensionales». Y el descubrimiento podría dar más frutos en el futuro. «La prueba requirió nuevas herramientas, que a su vez están dando lugar a aplicaciones de gran alcance en matemáticas y física», señala Ken Ono, matemático de la Universidad de Virginia.

Ono se ha centrado en otro de los Problemas del Milenio: la hipótesis de Riemann, que tiene que ver con los números primos y su distribución. En 2019, él y sus colaboradores publicaron un artículo en procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias donde reexaminaban una antigua estrategia, previamente abandonada, para tratar de hallar una solución. En un comentario adjunto, Enrico Bombieri, matemático del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y ganador de la medalla Fields (el mayor honor para un matemático) en 1974, se refirió a la investigación como un «gran avance». No obstante, Ono afirma que sería infundado pensar que su trabajo «sugiere que estamos a punto de demostrar la hipótesis de Riemann». Otros matemáticos también han ido socavando este problema a lo largo de los años. Por ejemplo, «Terry Tao escribió un buen artículo hace un par de años acerca del programa de [el matemático Charles] Newman para la hipótesis de Riemann», apunta Ono.

Avanzar en lo que no funciona

El hecho de que hasta ahora solo se haya resuelto uno de los problemas de la lista no sorprende a los expertos: después de todo, esos rompecabezas son persistentes e increíblemente difíciles. «El número de problemas que se han resuelto [hasta ahora] es uno más de lo que yo habría esperado», admite Manjul Bhargava, matemático de la Universidad de Princeton y ganador de la medalla Fields en 2014. El propio Bhargava ha presentado varios resultados recientes relacionados con la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, incluido un artículo en el que él y sus colaboradores «demuestran que más del 66 por ciento de las curvas elípticas satisfacen la conjetura».

Ninguno de los problemas será fácil de resolver, pero algunos podrían resultar especialmente intratables. El problema P frente a NP se antoja tan complicado que Scott Aaronson, teórico de la computación de la Universidad de Texas en Austin, lo considera «un indicador de nuestra ignorancia». Este problema se plantea si todas las preguntas cuyas soluciones son fáciles de verificar (cuestiones que pertenecen a una clase llamada NP) también son preguntas fáciles de resolver (las cuales se encuadran en la clase P). Aaronson ha escrito mucho sobre el problema P versus NP. En un artículo publicado en 2009, él y Avi Wigderson, matemático e informático del Instituto de Estudios Avanzados y uno de los ganadores del premio Abel en 2021, presentaron una nueva «barrera» (un tipo de técnica que no sirve para resolver el problema) para demostrar que las clases P y NP no son la misma. Esa barrera es la tercera descubierta hasta la fecha.

«Se está avanzando mucho en demostrar qué enfoques no funcionan», incide Virginia Vassilevska Williams, teórica computacional y matemática del Instituto de Tecnología de Massachusetts. «Probar que P no es igual a NP sería un paso importante para mostrar que los fundamentos de la criptografía son sólidos», prosigue. «Ahora mismo la criptografía se basa en supuestos no demostrados», uno de los cuales es la idea de que P no es igual a NP. «Para probar que no se pueden romper los protocolos criptográficos que precisan los ordenadores modernos», incluidos los que mantienen segura nuestra información financiera y otros datos personales en línea, «hay que demostrar como mínimo que P no es igual a NP», explica Vassilevska Williams. «Cuando me han obligado a concretar una cifra», subraya Aaronson, «digo que hay un 97 o 98 por ciento de probabilidades de que P no sea igual a NP».

Escalar el Everest

Buscar soluciones a los Problemas del Milenio es como intentar escalar el Everest por primera vez, ejemplifica Ono. «Hay varios pasos a lo largo del camino que representan un avance», añade. «La verdadera pregunta es: ¿podemos llegar al campamento base? Y si podemos, sabemos que aún estamos muy lejos.»

Para problemas como la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer y la hipótesis de Riemann, Ono opina que «seguramente estemos en Nepal» (uno de los países desde donde parten las expediciones a la montaña), «pero ¿hemos llegado al campamento base?». Los matemáticos aún podrían necesitar «equipo» adicional para ascender hasta la cumbre. «Ahora estamos tratando de averiguar cuáles son los análogos matemáticos de las herramientas especializadas, las botellas de oxígeno, que necesitaremos para hacer cima», comenta Ono. ¿Quién sabe cuántos obstáculos pueden interponerse entre la investigación actual y las posibles soluciones a esos problemas? «Quizá haya 20. Quizá estemos más cerca de lo que pensamos», especula.

Pese a la dificultad de los problemas, los matemáticos son optimistas a largo plazo. «Tengo grandes esperanzas de que se resuelva alguno de ellos mientras soy presidente del Instituto Clay», comenta Bridson, y señala que el instituto trabaja en elaborar una estrategia para seguir dando a conocer los problemas. «Pero debo aceptar que son cuestiones profundamente complejas, que podrían seguir dando forma a las matemáticas durante el resto de mi vida sin ser resueltas.»

Rachel Crowell



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